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夫朗和斐绕射

时间:2020-07-01      浏览:479

夫朗和斐绕射 (Fraunhofer diffraction) 与菲涅耳绕射 (Fresnel diffraction) 分别是两种描述绕射现象的模型;夫朗和斐绕射假设造成绕射的狭缝和屏幕距离很远,可视为无限远的情况,而菲涅耳绕射则假设屏幕与狭缝的距离是有限的。图一说明了这种几何关係的差异。图一 (b) 中点光源与狭缝间置放透镜,目的只是让入射光线变成平行光;而实务上,如果要符合夫朗和斐绕射的条件,只要在狭缝至屏幕间放一个凸透镜聚光,就能将屏幕视为在无限远处)。因为屏幕与狭缝距离视为无限远,所以可以将夹角 $$\theta$$ 近似:

$$\displaystyle\tan\theta=\frac{y}{d}\approx\sin\theta\approx\theta~~~~~~~~~(1)$$

夫朗和斐绕射

图一、(a) 符合菲涅耳绕射的情况。(b) 符合夫朗和斐绕射的情况。(c) 屏幕上 P 点离中心点的距离为 y,屏幕与狭缝距离为 d,当 d 视为无限大时 (1) 式就能成立。(本文作者周文鸿绘) 

在符合夫朗和斐绕射假射的条件下,我们可以解释单狭缝绕射形成的亮暗相间的条纹(图二)。首先,根据惠更斯原理 (Huygen’s principle),波前的每一点都可视为点波源放出球面波。光源发出的光经过狭缝时,只有狭缝开口处的光才能通过,而我们将狭缝每一处都视为新的点波源发出光到屏幕上。从以上描述,我们可以定性找出绕射条纹暗纹的位置,而定量分析则能帮我们求出亮纹的位置。

夫朗和斐绕射

图二、单狭缝绕射强度分布图。(图片取自

定性来说,让我们先将狭缝分为 2k 等分,每一等分都构成一点光源。以图三 (a) 来说明,如果 1 号点光源及 k + 1 号点光源发出的光线到达屏幕某一点时,因光线走的距离(光程差)不同,造成相位完全相反,那这两束光就会形成完全破坏性干涉。而邻近的 2 号点光源及 k+2 号点光源光程差也应该完全一样,因此也产生完全破坏性干涉,3 号点光源及 k + 3 号点光源也产生完全破坏性干涉……以此类推,所有点光源都能与其对应的点光源产生完全破坏性干涉,因此屏幕上该点就会是暗的。

从图中可以看到,因为狭缝与屏幕距离视为无限远,两道光就可视为平行光,因此 1 号点光源和 k+1 号点光源的光程差就是两条平行线的垂直距离 $$\frac{a}{2}\sin\theta$$。而完全破坏性干涉的条件是「光程差为半波长」,以方程式表达就是 $$\frac{a}{2}\sin\theta=\frac{\lambda}{2}$$,把式 (1) 带入 $$\sin\theta$$ 即可得到第一暗纹的位置:$$y=\frac{2D\lambda}{a}$$。我们也可以把狭缝继续细分为 4k 等分、6k 等分……(图三 (b) 与 (c)),也都可以使点光源两两互相产生完全破坏性干涉,所以所有暗纹都符合 $$\frac{a}{2m}\sin\theta=\frac{1}{2}\lambda$$:

$$\displaystyle a\sin\theta=m\lambda,~~~m=1,2,3…~~~~~~~~~(2)$$

夫朗和斐绕射

图三、定性描述绕射暗纹产生原因。(a) 狭缝分为两等分 (b) 四等分 (c) 六等分,每个点光源皆能找到相对应的点光源,产生完全破坏性干涉,互相抵消。(本文作者周文鸿绘)

定量来说,光的强度与其电场大小有关,因此我们必须设法求出狭缝中每一点光源传播到屏幕上的电场量值,而根据波的叠加原理 (Superposition principle),将个别电场量值加总就能得到总电场量值,进而能求出屏幕上光的强度。我们先假设点波源之间的宽度为 $$dx$$,因此狭缝宽可表示为 $$a=(2k-1)dx$$。相邻点光源间的光程差为 $$dx\cdot \sin\theta$$,而相位差为:

$$\displaystyle\varphi=\frac{2\pi}{\lambda}\sin\theta~dx~~~~~~~~~(3)$$

假设 1 号点光源在屏幕上 P 点的电场强度 $$E=\cos\omega t$$,那幺 2 号点光源在屏幕上的电场强度就会差一个相位 $$E=\cos(\omega t-\varphi)$$,依此类推,所有点光源造成的电场即为个别之加总:

$$E=\cos\omega t+\cos(\omega t-\varphi)+\cdots+\cos[\omega t-(2k-1)\varphi]~~~~~~~~~(4)$$

利用数学上的和差化积技巧,可以将上式改写为

$$\displaystyle E=\frac{\sin(\frac{2k\varphi}{2})}{\sin(\frac{\varphi}{2})}\cos[\omega t-\frac{1}{2}(n-1)\varphi]~~~~~~~~~(5)$$

因为我们将狭缝分为无限个点光源,所以取极限 $$n\to\infty$$,$$dx\to 0$$,$$2k\cdot dx\to a$$。带入式 (3) 后可得到 $$\frac{2k\varphi}{2}=\frac{\pi}{\lambda}(2k)\sin\theta dx=\frac{\pi a\sin\theta}{\lambda}$$,而 $$\frac{\varphi}{2}=\frac{\pi a\sin\theta}{n\lambda}\to 0$$。令 $$\beta=\frac{\pi a\sin\theta}{\lambda}$$,则电场 $$E$$ 可近似为:$$E=A\frac{\sin\beta}{\beta}\cos(\omega t-\beta)$$。其中,后方的 $$\cos$$ 项代表电磁波的传递,而前方係数则代表电场振幅,而光强度正比于电场振幅平方:

$$\displaystyle I=I_0\frac{\sin^2\beta}{\beta^2}~~~~~~~~~(6)$$

当 $$\sin^2\beta=0$$ 时,光强度为 0,也就形成暗纹,条件是 $$\beta=m\pi$$,$$m$$ 是非零整数。将 $$\beta$$ 的定义带入,我们就能再度得到式 (2)。亮纹的位置则比较难求得,首先当 $$\beta=0$$ 时,$$\frac{\sin^2\beta}{\beta^2}$$ 为不定型,但藉由微积分中的 L’Hospital 法则我们发现它其实趋近于 1,此时 $$I=I_0$$ 为中央亮纹的强度。其他亮纹位置在亮度最大值的地方,因此我们将强度 $$I$$ 对 $$\beta$$ 微分:

$$\displaystyle \frac{dI}{d\beta}=I_0\frac{2\sin\beta\cos\beta\cdot\beta^2-2\beta\cdot\sin^2\beta}{\beta^4}=0~~~~~~~~~(7)$$

化简后,发现极值产生在 $$\sin\beta(\beta-\tan\beta)=0$$ 处,而 $$\sin\beta=0$$ 代表极小值,也就是暗纹位置,所以亮纹位置在 $$\tan\beta=\beta$$ 处。因为上式的解不能以基本函数表达,因此只能用数值解,或是将方程式的解视为 $$y=\tan\beta$$ 及 $$y=\beta$$ 两条直线交点求近似解(图五)。

夫朗和斐绕射

图四、将狭缝细分为间隔为 dx 的点光源,光线与平行线夹角为 θ,故两条光线间距离为 dx.sinθ。(本文作者周文鸿绘)

夫朗和斐绕射

图五、图中蓝线为 y = tanβ,绿线为 y = β,两条直线交点的 β 值就是对应亮纹产生的位置。(本文作者周文鸿绘)


参考文献